フーリエ解析 (Fourier Analysis)

2019/11/26 平野拓一

1. はじめに

フーリエ解析は関数を異なる周波数の三角関数（正弦波 sin、余弦波 cos）の和で展開して周波数領域で解析する手法である。電気電子工学、情報工学、音響工学、土木・建築工学などあらゆる分野で活用されている。

2. フーリエ解析

• 「フーリエ解析」の説明
• ２周波数の正弦波の時間波形のFFT (MATLABサンプルファイル: fft_test.m)
  YouTube動画による説明
• Waveファイルの再生とFFT解析 (MATLABサンプルファイル: audio_analyze.m, 実行結果解説: audio_analyze.pdf)
  YouTube動画による説明

【参考】
MATLABには離散フーリエ変換(DFT)を行う関数FFTが標準で使えるようになっているが、その機能を式そのままに書いた例を下に示す。ただし、MATLABのFFTは高速フーリエ変換(FFT)で実装されているので、計算オーダーはO(N log₂ N)となり、Nが大きいときはDFTの式をそのまま書いたO(N²)よりもずっと速い。

• 普通にfor文で書いたDFT (MATLABサンプルファイル: dft.m)
• 普通にfor文で書いた逆離散フーリエ変換IDFT (MATLABサンプルファイル: dft.mを利用して書いてください[演習])
  → idft(dft([1 1 0]))として実行すると[1 1 0]となることを確認しよう。
• ヴァンデルモンド行列を利用したDFT (MATLABサンプルファイル: dft2.m)
• ヴァンデルモンド行列を利用したIDFT (MATLABサンプルファイル: idft2.m)
  → idft2(dft2([1 1 0]))として実行すると[1 1 0]となることを確認しよう。
• デルタ関数の説明 (資料)
  デルタ関数は信号処理ではAD変換による理想的な時間サンプリングを表現するのに用いられます。連続と離散をつなぐ架け橋です。

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